Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает ее боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 48, BC = 16, CF : DF = 5 : 3.
Решение
Нарисуем условие и проведем диагональ BD:
Теорема Фалеса гласит: Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от его сторон пропорциональные отрезки. Можно записать:
\displaystyle \frac{BE}{AE}=\frac{CF}{FD}=\frac{5}{3}.
Треугольник BCD подобен треугольнику OFD по двум углам:
— \angle BDC общий;
— \angle BCD=\angle OFD как соответственные углы.
У подобных треугольников стороны пропорциональны:
\displaystyle \frac{BC}{OF}=\frac{CD}{DF}.
\displaystyle \frac{CD}{DF}=\frac{CF+DF}{DF}=\frac{CF}{DF}+1=\frac{5}{3}+1=\frac{8}{3}.
Можно записать:
\displaystyle \frac{BC}{OF}=\frac{8}{3};
\displaystyle \frac{16}{OF}=\frac{8}{3};
\displaystyle 8OF=48;
\displaystyle OF=6.
Треугольник ABD подобен треугольнику EBO по двум углам:
— \angle ABD общий;
— \angle BAD=\angle BEO как соответственные углы.
У подобных треугольников стороны пропорциональны:
\displaystyle \frac{AD}{EO}=\frac{AB}{BE}.
\displaystyle \frac{AB}{BE}=\frac{AE+BE}{BE}=\frac{AE}{BE}+1=\frac{3}{5}+1=\frac{8}{5}.
Можно записать:
\displaystyle \frac{AD}{EO}=\frac{8}{5};
\displaystyle \frac{48}{EO}=\frac{8}{5};
\displaystyle 8EO=240;
\displaystyle EO=30.
Найдем длину отрезка EF=EO+OF=30+6=36.
Ответ: 36.
Источник: ОГЭ 2025. Математика. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ОГЭ. Ященко И. В. (вариант 12) (Решебник)