Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом...4

Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок, делая первый прыжок из начала координат. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, совершив ровно $4$ прыжка?

Решение

Рассмотрим несколько вариантов, при которых кузнечик сможет сделать прыжки влево и вправо за весь путь:

1

вариант —

4

прыжка вправо — кузнечик будет в точке

4

2

вариант —

3

прыжка вправо и

1

влево — кузнечик будет в точке

2

3

вариант —

2

прыжка вправо и

2

влево — кузнечик будет в точке

0

4

вариант —

1

прыжок вправо и

3

влево — кузнечик будет в точке

-2

Уже видно, что в итоге кузнечик всегда оказывается в точках с четными координатами (из-за того что он делает четное количество прыжков. Если бы кузнечик делал нечетное количество прыжков, то он бы оказывался в точках с нечетными координатами). Т.к. кузнечик делает ровно $4$ прыжка, то он может оказаться в точках, модуль которых не превышает $4$ . Получается, что кузнечик может оказаться в следующих точках: $-4, -2, 0, 2, 4$ . Всего получилось $5$ точек.

Ответ: $5$ .

Источник: ЕГЭ 2021. Математика. Базовый уровень. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий. (вариант №26) (Купить книгу)