Приведите пример трёхзначного числа, сумма цифр которого равна 20, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9.
Решение
Напишем все варианты трех цифр, сумма которых равна 20:
Первый вариант — 9+9+2, второй — 9+8+3, третий 9+7+4, четвертый — 9+6+5, пятый — 8+6+6, шестой — 7+7+6, седьмой — 8+8+4, восьмой — 8+7+5.
Определим кратность суммы квадратов цифр на 3 каждого варианта:
Первый \displaystyle \frac{9^2+9^2+2^2}{3}=\frac{166}{3} — не делится.
Второй \displaystyle \frac{9^2+8^2+3^2}{3}=\frac{154}{3} — не делится.
Третий \displaystyle \frac{9^2+7^2+4^2}{3}=\frac{146}{3} — не делится.
Четвертый \displaystyle \frac{9^2+6^2+5^2}{3}=\frac{142}{3} — не делится.
Пятый \displaystyle \frac{8^2+6^2+6^2}{3}=\frac{136}{3} — не делится.
Шестой \displaystyle \frac{7^2+7^2+6^2}{3}=\frac{134}{3} — не делится.
Седьмой \displaystyle \frac{8^2+8^2+4^2}{3}=\frac{144}{3}=48 — делится.
Восьмой \displaystyle \frac{8^2+7^2+5^2}{3}=\frac{138}{3}=46 — делится.
Получилось в седьмом и в восьмом варианте сумма квадратов цифр делится на 3. Определим, делится ли данная сумма квадратов на 96
Седьмой \displaystyle \frac{8^2+8^2+4^2}{9}=\frac{144}{9}=16 — делится, значит, условию не удовлетворяет.
Восьмой \displaystyle \frac{8^2+7^2+5^2}{3}=\frac{138}{9} — не делится, значит, условию уловлетворяет.
Получается, что трехзначное число должно состоять из цифр 8, 7, 5. Например, число 875.
Ответ: 875.
Источник: Демоверсия ЕГЭ по математике 2024. Базовый уровень (Задание 19. Пример 1) (Решебник)