Найдите точку минимума функции \displaystyle y=-\frac{x}{x^2+256}.
Решение
Для нахождения производной применим следующее правило дифференцирования [latex] \displaystyle \frac{u}{v}=\frac{u'v-uv'}{v^2}: \displaystyle y=-\frac{x^2+256-x\cdot 2x}{(x^2+256)^2}=\frac{x^2-256}{(x^2+256)^2} .Найдем точки экстремума функции, для этого приравняем производную функции к нулю:
\displaystyle \frac{x^2-256}{(x^2+256)^2}=0.Знаменатель строго больше нуля. Соответственно, чтобы уравнение равнялось нулю, необходимо, чтобы числитель был равен нулю:
x^2-256=0; x=\pm 16.Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:
Точка минимума - точка, где производная меняет свой знак с минуса на плюс. В нашем случае точка минимума 16.
Ответ: 16.
Источник: Демоверсия ЕГЭ по математике 2024. Профильный уровень (Задание 12. Пример 3) (Решебник)