Найдите точку максимума функции y=(x+8)^2 \cdot e^{3-x}.
Решение
Найдем производную функции, для этого применим следующие правила дифференцирования (uv)'=u'v+uv' и (e^u)'=e^u u':
\displaystyle y'=((x+8)^2)' \cdot e^{3-x}+(x+8)^2 \cdot (e^{3-x})'= \displaystyle 2(x+8) \cdot e^{3-x}-(x+8)^2 \cdot (e^{3-x})= \displaystyle e^{3-x}(2x+16-(x^2+16x+64))= \displaystyle e^{3-x}(-x^2-14x-48)).Найдем точки экстремума функции, для этого приравняем производную функции к нулю:
\displaystyle e^{3-x}(-x^2-14x-48))=0; e^{3-x}=0 или -x^2-14x-48=0 e^{3-x}=0 — всегда больше нуля. -x^2-14x-48=0; D=b^2-4ac=196-4\cdot -1\cdot -48=4; \displaystyle x_1=\frac{14-2}{-2}=-6; \displaystyle x_1=\frac{14+2}{-2}=-8.Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:
Точка максимума — точка, где производная меняет свой знак с плюса на минус. В нашем случае точка максимума -6.
Ответ: -6.
Источник: Демоверсия ЕГЭ по математике 2024. Профильный уровень (Задание 12. Пример 2) (Решебник)