Найдите наименьшее значение функции на отрезке y=9x-9ln(x+11)+7 на отрезке [-10,5; 0].
Решение
Наименьшее значение функция принимает в одной из точек экстремума. Чтобы найти их, найдем производную функции и приравняем ее к нулю.
Для нахождения производной, воспользуемся следующими правилами дифференцирования \displaystyle (lnx)'=\frac{1}{x} и (x^n)'=nx^{n-1}:
\displaystyle y'=9-9 \cdot \frac{1}{x+11}=9-\frac{9}{x+11}.Приравняем производную к нулю:
\displaystyle 9-\frac{9}{x+11}=0; 9\cdot(x+11)+9=0; 9x+99-9=0; 9x=-99+9; 9x=-90; x=-10.Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции на отрезке [-10,5; 0]:
Получилось, что наименьшее значение функции в точке -10. Найдем значение функции в данной точке:
\displaystyle y(-10)=-90-9ln(-10+11)+7=-90+7=-83.Ответ: -83.
Источник: Демоверсия ЕГЭ по математике 2024. Профильный уровень (Задание 12. Пример 1) (Решебник)