Решите уравнение (x-1)^4-2(x-1)^2-3=0.
Решение
Пусть t=(x-1)^2. Тогда:
t^2-2t-3=0;
D=4-4 \cdot 1 \cdot (-3)=4+12=16;
\displaystyle t_1=\frac{2+4}{2}=3;
\displaystyle t_2=\frac{2-4}{2}=-1.
Выполним обратную замену:
t_1=(x_1-1)^2;
3=(x_1-1)^2;
3=x_1^2-2x+1;
x_1^2-2x-2=0;
D=4-4 \cdot 1 \cdot (-2)=4+8=12;
\displaystyle x_1=\frac{-2+\sqrt{12}}{2}=-1+\sqrt{3};
\displaystyle x_2=\frac{-2-\sqrt{12}}{2}=-1-\sqrt{3}.
____________________
t_2=(x_2-1)^2;
-1=(x_2-1)^2 — решений нет, т.к. любое число в квадрате будет положительным.
Ответ: -1+\sqrt{3}; -1-\sqrt{3}.
Источник: ОГЭ 2025. Математика. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ОГЭ. Ященко И. В. (вариант 45) (Решебник)