Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого автомобилиста на 8 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью 90 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста, если известно, что она больше 75 км/ч.
Решение
Мы знаем, что \displaystyle V=\frac{S}{t}.
Пусть x км/ч – скорость первого автомобиля, S – весь путь. Время, затраченное первым автомобилистом будет равно \displaystyle \frac{S}{x}.
Путь второго автомобилиста разделен на два пути: скорость на первой части пути равна (x-8) км/ч, а на второй части пути 90 км/ч. Значит время, затраченное вторым автомобилистом будет равно \displaystyle \frac{\frac{1}{2}S}{x-8}+\frac{\frac{1}{2}S}{90}. Оба автомобилиста прибыли в пункт B одновременно, значит время в пути у них было одинаковым. Можно составить уравнение:
\displaystyle \frac{S}{x}=\frac{\frac{1}{2}S}{x-8}+\frac{\frac{1}{2}S}{90}; \displaystyle \frac{S}{x}=\frac{S}{2(x-8)}+\frac{S}{2 \cdot 90}; \displaystyle \frac{1}{x}=\frac{1}{2x-16}+\frac{1}{180}; \displaystyle \frac{180(2x-16)}{x \cdot 180 \cdot (2x-16)}=\frac{180x}{x \cdot 180 \cdot (2x-16)}+\frac{x(2x-16)}{x \cdot 180 \cdot (2x-16)}; 360x-2880=180x+2x^2-16x; 2x^2-196x-2880=0; x^2-98x-1440=0; D=9604-4 \cdot (-1440)=3844; \displaystyle x_1=\frac{98+62}{2}=80; \displaystyle x_2=\frac{98-62}{2}=18.Т.к. скорость первого автомобилиста больше 75 км/ч, то нам подходит только 80 км/ч.
Ответ: 80.
Источник: ОГЭ 2025. Математика. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ОГЭ. Ященко И. В. (вариант 26) (Решебник)