Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды... 4 sqrt{17}

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 4, а боковое ребро равно $\sqrt{17}$ .

Решение

Площадь пирамиды находится по формуле $\displaystyle V=\frac{1}{3}S_o \cdot h$ , где $S_o$ — площадь основания, $h$ — высота.

Т.к. у нас правильная четырехугольная пирамида, то значит в основании лежит квадрат. Найдем площадь основания $S_o=a \cdot a=4 \cdot 4=16$ .

Разделим основания на два прямоугольных треугольника. Найдем гипотенузу $AC$ треугольника по теореме Пифагора (см. рисунок ниже):

AC^2=AB^2+BC^2;

AC^2=4^2+4^2;

AC^2=32;

AC=\sqrt{32}

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHE$ , где мы знаем сторону $AH=AC \div 2= \sqrt{32} \div 2= 4\sqrt{2} \div 2= 2\sqrt{2}$ и сторону $AE=\sqrt{17}$ . Найдем оставшуюся сторону $EH$ по теореме Пифагора (см. рисунок ниже):

AE^2=AH^2+EH^2;

(\sqrt{17})^2=(2\sqrt{2})^2+EH^2;

17=8+EH^2;

EH^2=9;

EH=3

Получилось, что высота равна $3$ .

Найдем объем правильной четырехугольной пирамиды $\displaystyle V=\frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 3=16$ .

Ответ: $16$ .

Источник: Демоверсия ЕГЭ по математике 2024. Базовый уровень (Задание 13. Пример 2) (Решебник)