Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 12. Окружность радиусом 8 с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания AC. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
Решение
Изобразим условие:
Пусть O — центр вневписанной окружности, а Q — центр вписанной окружности треугольника ABC.
Точка касания M окружностей делит AC пополам (т.е. AM=MC=AC \div 2=12 \div 2=6), т.к. биссектриса треугольника делит пополам сторону, к которой она проведена.
Лучи AQ и AO — биссектрисы смежных углов, значит, угол OAQ прямой (биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны).
Квадрат высоты прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу. Значит, из прямоугольного треугольника OAQ получаем AM^2=MQ \cdot MO. Подставим известные данные:
6^2=MQ \cdot 8; 36=MQ \cdot 8; MQ=36 \div 8; MQ=4,5.Ответ: 4,5.
Источник: Решебник демоверсии ОГЭ по математике 2024 (Задание 25) (Решебник)