Весной катер идёт против течения реки в \displaystyle 1 \frac{2}{3} раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер идёт против течения в \displaystyle 1 \frac{1}{2} раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч).
Решение
Весной:
Пусть x — скорость катера, а y — скорость течения. Тогда, скорость катера по течению будет (x+y). А против течения (x-y).
При этом, весной катер идёт против течения реки в \displaystyle 1 \frac{2}{3} раза медленнее, чем по течению, т.е. \displaystyle \frac{x+y}{x-y}=1 \frac{2}{3}.
Летом:
Пусть x — скорость катера, а y-1 — скорость течения (летом течение становится на 1 км/ч медленнее). Тогда, скорость катера по течению будет (x+(y-1)). А против течения (x-(y-1)).
При этом, летом катер идёт против течения реки в \displaystyle 1 \frac{1}{2} раза медленнее, чем по течению, т.е. \displaystyle \frac{x+(y+1)}{x-(y-1)}=1 \frac{1}{2}.
Объединим уравнения в систему и найдем скорость течения весной:
\begin{cases} \frac{x+y}{x-y}=1 \frac{2}{3} \\ \frac{x+(y+1)}{x-(y-1)}=1 \frac{1}{2} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \frac{x+y}{x-y}=\frac{5}{3} \\ \frac{x+y+1}{x-y+1}=\frac{3}{2} \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} 3(x+y)=5(x-y) \\ 2(x+y-1)=3(x-y+1) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3x+3y=5x-5y \\ 2x+2y-2=3x-3y+3 \end{cases}\Rightarrow
\begin{cases} 3x-5x=-5y-3y \\ 2x-3x+2y+3y=3+2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -2x=-8y \\ -x+5y=5 \end{cases}\Rightarrow
\begin{cases} x=4y \\ -x+5y=5 \end{cases}
Подставим x во второе уравнение:
-4y+5y=5; y=5.Получилось, что скорость течения весной равняется 5 км/ч.
Ответ: 5.
Источник: Демоверсия ЕГЭ по математике 2024. Профильный уровень (Задание 10. Пример 1) (Решебник)