Смешав 45%-ный и 97%-ный растворы кислоты и добавив 10...

Смешав 45%-ный и 97%-ный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 62%-ный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50%-ного раствора той же кислоты, то получили бы 72%-ный раствор кислоты. Сколько килограммов 45%-ного раствора использовали для получения смеси?

Решение

Пусть $x$ — масса $45 \%$ раствор кислоты, а $y$ — масса $97 \%$ раствор кислоты.

Введем обозначения элементов:

A

—

45 \%

раствор кислоты;

B

—

97 \%

раствор кислоты;

C

—

10

кг воды;

D

—

50 \%

раствор кислоты.

По условию составим следующую таблицу:

Запишем систему уравнений:

\begin{cases} 0,45x+0,97y+0=0,62(x+y+10) \\ 0,45x+0,97y+5=0,72(x+y+10) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 0,45x+0,97y+0=0,62x+0,62y+6,2 \\ 0,45x+0,97y+5=0,72x+0,72y+7,2 \end{cases}\Rightarrow

\begin{cases} 0,45x+0,97y+0=0,62(x+y+10) \\ 0,45x+0,97y+5=0,72(x+y+10) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 0,45x+0,97y+0=0,62x+0,62y+6,2 \\ 0,45x+0,97y+5=0,72x+0,72y+7,2 \end{cases}\Rightarrow

\begin{cases} 0,45x-0,62x+0,97y-0,62y=6,2 \\ 0,45x-0,72x+0,97y-0,72y=7,2-5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -0,17x+0,35y=6,2 \\ -0,27x+0,25y=2,2 \end{cases}\Rightarrow

Для облегчения умножим обе части уравнения на $100$ :

\begin{cases} -17x+35y=620 \\ -27x+25y=220 \end{cases}

Вынесем из первого уравнения $y$ :

\displaystyle 35y=620+17x;

\displaystyle y=\frac{620+17x}{35}

Подставим $y$ во второе уравнение:

\displaystyle -27x+25 \left(\frac{620+17x}{35} \right)=220;

\displaystyle -27x+5 \left(\frac{620+17x}{7} \right)=220;

Умножим уравнение на $7$ :

\displaystyle -189x+5 (620+17x)=1540;

\displaystyle -189x+3100+85x=1540;

-189x+85x=-3100+1540;

-104x=-1560;

x=15

Получилось, что $15$ кг килограммов $45 \%$ -ного раствора использовали для получения смеси.

Ответ: $15$ .

Источник: Демоверсия ЕГЭ по математике 2024. Профильный уровень (Задание 10. Пример 2) (Решебник)