На координатной плоскости изображены векторы \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} и \overrightarrow{c}. Найдите значение выражения (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{c}.
Решение
Если точки координатной плоскости имеют координаты A(x_1; y_1) и B(x_2; y_2), то вектор \overrightarrow{AB} имеет координаты (x_2-x_1; y_2-y_1).
Найдем координаты вектора \overrightarrow{a}:
\overrightarrow{a}=(3-1; 3-2)=(2; 1).Найдем координаты вектора \overrightarrow{b}:
\overrightarrow{b}=(2-3; 8-4)=(-1; 4).Найдем координаты вектора \overrightarrow{c}:
\overrightarrow{a}=(9-4; 4-5)=(5; -1).Разность двух векторов \overrightarrow{a}(x_1; y_1) и \overrightarrow{b}(x_2; y_2) равняется \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}=x_1 - x_2 ; y_1 - y_2.
Определим координаты вектора:
Пусть \overrightarrow{t}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}:
\overrightarrow{t}=\{2-(-1); 1-4\}=\{3; -3\}.Получается следующее выражение \overrightarrow{t} \cdot \overrightarrow{c}.
Скалярное произведение двух векторов \overrightarrow{t}(x_1; y_1) и \overrightarrow{c}(x_2; y_2) равняется \overrightarrow{t} \cdot \overrightarrow{c}=x_1 x_2 + y_1 y_2.
Найдем скалярное произведение:
\overrightarrow{t} \cdot \overrightarrow{c}= \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{c}=3 \cdot 5+ (-3) \cdot (-1)=15+3=18.Ответ: 18.
Источник: Открытый банк задач ЕГЭ по математике (Задание №509728)