Длины векторов \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} равны 7\sqrt{3} и 4, а угол между ними равен 150^{\circ}. Найдите скалярное произведение \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}.
Решение
Скалярное произведение векторов равняется произведению их длин на косинус угла между ними:
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{|a|} \cdot \overrightarrow{|b|} \cdot \cos \alpha.Подставим известные значения в формулу и найдем скалярное произведение вектров:
\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 7\sqrt{3} \cdot 4 \cdot \cos 150^{\circ}=28\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-28 \cdot 3 \div 2=-42.Ответ: -42.
Источник: Открытый банк задач ЕГЭ по математике (Задание №509768)