На координатной плоскости изображены векторы \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b}. Найдите косинус угла между ними.
Решение
Если точки координатной плоскости имеют координаты A(x_1; y_1) и B(x_2; y_2), то вектор \overrightarrow{AB} имеет координаты (x_2-x_1; y_2-y_1).
Найдем координаты вектора \overrightarrow{a}:
\overrightarrow{a}=(4-1; 4-8)=(3; -4).Найдем координаты вектора \overrightarrow{b}:
\overrightarrow{b}=(6-2; 1-4)=(4; -3).Скалярное произведение векторов равняется произведению их длин на косинус угла между ними:
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{|a|} \cdot \overrightarrow{|b|} \cdot \cos \alpha.Выведем косинус угла между векторами:
\displaystyle \cos \alpha=\frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{|a|} \cdot \overrightarrow{|b|}}.В числителе у нас получилось скалярное произведение в координатах, а в знаменателе произведение длин векторов.
Скалярное произведение двух векторов \overrightarrow{a}(x_1; y_1) и \overrightarrow{b}(x_2; y_2) равняется \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=x_1 x_2 + y_1 y_2.
Найдем скалярное произведение:
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=3 \cdot 4 + (-4) \cdot (-3) =12+12=24.Длина вектора \overrightarrow{a} (x;y) вычисляется по формуле |\overrightarrow{a}|=\sqrt{x^2+y^2}.
Найдем произведение длин векторов:
|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|=\sqrt{3^2 + (-4)^2} \cdot \sqrt{4^2 + (-3)^2} =\sqrt{25} \cdot \sqrt{25}=\sqrt{625}=25.Найдем косинус угла между векторами:
\displaystyle \cos \alpha=\frac{24}{25}=0,96.Ответ: 0,96.
Источник: Открытый банк задач ЕГЭ по математике (Задание №509529)