В прямоугольном треугольнике ABC катет AC равен \sqrt{3}. Найдите скалярное произведение \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}
Решение
Скалярное произведение векторов равняется произведению их длин на косинус угла между ними:
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{|AB|} \cdot \overrightarrow{|AC|} \cdot \cos A.Косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе:
\displaystyle cos A=\frac{AC}{AB}.Отсюда:
\displaystyle \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{|AB|} \cdot \overrightarrow{|AC|} \cdot \frac{\overrightarrow{|AC|}}{\overrightarrow{|AB|}}=\overrightarrow{|AC|} \cdot \overrightarrow{|AC|}=\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}=3.Ответ: 3.
Источник: Открытый банк задач ЕГЭ по математике (Задание №509532)