Длина вектора \overrightarrow{a} равна 3 \sqrt{2}, угол между векторами \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} равен 135^{\circ}, а скалярное произведение \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} равно -90. Найдите длину вектора \overrightarrow{b}.
Решение
Скалярное произведение векторов равняется произведению их длин на косинус угла между ними:
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{|a|} \cdot \overrightarrow{|b|} \cdot \cos \alpha.Выведем длину вектора \overrightarrow{b}:
\displaystyle \overrightarrow{|b|}= \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{|a|} \cdot \cos \alpha}.Подставим известные значения в формулу и найдем длину вектора \overrightarrow{b}:
\displaystyle \overrightarrow{|b|}= \frac{-90}{3 \sqrt{2} \cdot \cos 135^{\circ}}=\frac{-90}{3 \sqrt{2} \cdot -\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{90}{3}=30.Ответ: 30.
Источник: Открытый банк задач ЕГЭ по математике (Задание №509856)