Длина вектора \overrightarrow{a} равна 4, угол между векторами \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} равен 30^{\circ}, а скалярное произведение \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} равно 15 \sqrt{3}. Найдите длину вектора \overrightarrow{b}.
Решение
Скалярное произведение векторов равняется произведению их длин на косинус угла между ними:
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{|a|} \cdot \overrightarrow{|b|} \cdot \cos \alpha.Выведем длину вектора \overrightarrow{b}:
\displaystyle \overrightarrow{|b|}= \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{|a|} \cdot \cos \alpha}.Подставим известные значения в формулу и найдем длину вектора \overrightarrow{b}:
\displaystyle \overrightarrow{|b|}= \frac{15 \sqrt{3}}{4 \cdot \cos 30^{\circ}}=\frac{15 \sqrt{3}}{4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{15 \sqrt{3}}{2 \sqrt{3}}=7,5.Ответ: 7,5.
Источник: Открытый банк задач ЕГЭ по математике (Задание №509858)