Длина вектора \overrightarrow{a} равна 68, угол между векторами \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} равен 150^{\circ}, а скалярное произведение \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} равно -17 \sqrt{3}. Найдите длину вектора \overrightarrow{b}.
Решение
Скалярное произведение векторов равняется произведению их длин на косинус угла между ними:
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{|a|} \cdot \overrightarrow{|b|} \cdot \cos \alpha.Выведем длину вектора \overrightarrow{b}:
\displaystyle \overrightarrow{|b|}= \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{|a|} \cdot \cos \alpha}.Подставим известные значения в формулу и найдем длину вектора \overrightarrow{b}:
\displaystyle \overrightarrow{|b|}= \frac{-17 \sqrt{3}}{68 \cdot \cos 150^{\circ}}=\frac{-17 \sqrt{3}}{68 \cdot -\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{17 \sqrt{3}}{34 \sqrt{3}}=0,5.Ответ: 0,5.
Источник: Открытый банк задач ЕГЭ по математике (Задание №509865)