На клетчатой бумаге размером 1×1 нарисована «змейка», представляющая из себя ломанную, состоящую из четного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображен случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломанной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 140.
Решение
Взглянув на рисунок можно понять, что каждое звено змейки повторяется два раза. Значит, длину змейки при последнем звене равном 10 можно найти по формуле 2 \cdot (10+9+8+7+6+5+4+3+2+1). А если последнее звено змейки будет равно 140, то аналогично длину можно будет найти по формуле 2 \cdot (140 + 139 + 138... 3+2+1).
Заметим, что в скобках арифметическая прогрессия (каждое следующее значение уменьшается на единицу). Воспользуемся формулой суммы первых n членов арифметической прогрессии:
\displaystyle S_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2}, где a_1 — первый член, a_n — n-ый член арифметической прогрессии.В нашем случае:
a_1=1; n=110; a_{140}=140.Подставим известные значения в формулу:
\displaystyle S_{140}=\frac{(1+140) \cdot 140}{2}=\frac{141 \cdot 140}{2}=141 \cdot 70=9870.Найдем длину ломанной, последнее звено которой имеет длину 140: 2 \cdot 9870=19740.
Ответ: 19740.
Источник: ОГЭ 2025. Математика. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ОГЭ. Ященко И. В. (вариант 2) (Решебник)