Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 16 и 34, а основание BC равно 2. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
Решение
Шаг 1. Находим второе основание. Пусть M — середина стороны AB. Продолжим биссектрису DM до пересечения с продолжением основания BC в точке K.
Прямые AD и BC параллельны, поэтому \angle CKD=\angle ADK как накрест лежащие. По условию DK — биссектриса, то есть \angle ADK=\angle CDK. Значит, \angle CKD=\angle CDK, и треугольник KCD равнобедренный:
KC=CD=34.
Тогда KB=KC-BC=34-2=32.
Треугольники AMD и BMK равны по стороне и двум прилежащим углам: AM=MB, углы при вершине M вертикальные, \angle MAD=\angle MBK как накрест лежащие. Следовательно,
AD=BK=32.
Шаг 2. Находим высоту. Проведём через вершину C прямую, параллельную AB, до пересечения с основанием AD в точке P. Четырёхугольник ABCP — параллелограмм, поэтому AP=BC=2 и CP=AB=16. Тогда
PD=AD-AP=32-2=30.
В треугольнике CPD стороны равны 16, 30 и 34. Проверим обратную теорему Пифагора:
16^2+30^2=256+900=1156=34^2.
Значит, треугольник CPD прямоугольный с прямым углом P: отрезок CP перпендикулярен основанию AD и является высотой трапеции, CP=16.
Шаг 3. Площадь.
S=\frac{AD+BC}{2}\cdot CP=\frac{32+2}{2}\cdot 16=17\cdot 16=272.
Ответ: 272.
Источник: проект демонстрационного варианта ОГЭ 2027 по математике (ФИПИ), задание 25. Все задания демоверсии с решениями.