Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AB и CD четырёхугольника пересекаются в точке M. Докажите, что треугольники MBC и MDA подобны.
Доказательство
Пусть точка M лежит на продолжении стороны AB за точку B и на продолжении стороны DC за точку C (если точка M расположена с другой стороны, рассуждение аналогично).
Первая пара углов. Угол M — общий для треугольников MBC и MDA.
Вторая пара углов. Угол MBC — смежный с углом ABC, поэтому
\angle MBC=180^\circ-\angle ABC.
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, а у вписанного четырёхугольника сумма противоположных углов равна 180^\circ:
\angle ADC=180^\circ-\angle ABC.
Значит, \angle MBC=\angle ADC. Угол ADC — это угол MDA треугольника MDA, так как точка C лежит на луче DM.
Вывод. В треугольниках MBC и MDA угол M общий и \angle MBC=\angle MDA. Следовательно, треугольники подобны по двум углам, что и требовалось доказать.
Источник: проект демонстрационного варианта ОГЭ 2027 по математике (ФИПИ), задание 24. Все задания демоверсии с решениями.