Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF=12, BF=5.
Решение
Основания трапеции AD и BC параллельны, а AB — секущая. Углы A и B трапеции — внутренние односторонние при параллельных прямых, поэтому их сумма равна 180^\circ:
\angle BAD+\angle ABC=180^\circ.
Биссектрисы делят эти углы пополам, поэтому в треугольнике ABF:
\angle BAF+\angle ABF=\frac{1}{2}\angle BAD+\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{1}{2}\cdot 180^\circ=90^\circ.
Тогда третий угол треугольника ABF равен \angle AFB=180^\circ-90^\circ=90^\circ. Значит, треугольник ABF прямоугольный, AF и BF — его катеты, а AB — гипотенуза.
По теореме Пифагора:
AB=\sqrt{AF^2+BF^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13.
Ответ: 13.
Источник: проект демонстрационного варианта ОГЭ 2027 по математике (ФИПИ), задание 23. Все задания демоверсии с решениями.