Постройте график функции
y=\begin{cases}x^2+2x+1 & \text{при } x\ge -2,\\ x+6 & \text{при } x<-2.\end{cases}
Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение
Построение. График состоит из двух частей.
При x<-2 функция задана формулой y=x+6 — это часть прямой. Возьмём точки: при x=-6 получаем y=0, при x=-4 получаем y=2. К точке (-2;4) прямая подходит, но сама эта точка графику не принадлежит (на рисунке она выколота).
При x\ge -2 функция задана формулой y=x^2+2x+1=(x+1)^2 — это часть параболы с ветвями вверх и вершиной в точке (-1;0). Левый конец этой части — точка (-2;1), она принадлежит графику. Ещё точки: (0;1), (1;4).
Исследование. Прямая y=m параллельна оси Ox. Будем двигать её снизу вверх и считать общие точки с графиком.
— При m<0 прямая пересекает только левую часть (прямую) — одна общая точка.
— При m=0 прямая пересекает левую часть и касается параболы в вершине — две общие точки.
— При 0<m\le 1 прямая пересекает левую часть и дважды пересекает параболу — три общие точки.
— При 1<m<4 прямая пересекает левую часть и один раз параболу (левая ветвь параболы обрывается на высоте 1) — две общие точки.
— При m\ge 4 прямая пересекает только параболу, так как левая часть графика лежит ниже 4, — одна общая точка.
Ровно две общие точки получаются при m=0 и при 1<m<4.
Ответ: m=0; 1<m<4.
Источник: проект демонстрационного варианта ОГЭ 2027 по математике (ФИПИ), задание 22. Все задания демоверсии с решениями.