Найдите наибольшее значение функции y=ln(x+18)^12-12x

Найдите наибольшее значение функции $y=ln(x+18)^{12}-12x$ на отрезке $[-17,5; 0]$ .

Решение

Наибольшее значение функция принимает в одной из точек экстремума. Чтобы найти их, найдем производную функции и приравняем ее к нулю.

Найдем производную функции, для этого воспользуемся правилом дифференцирования $(lnx)'=\frac{1}{x}x'$ :

\displaystyle y'=\frac{1}{(x+18)^{12}}12(x+18)^{11}-12=

\displaystyle\frac{12(x+18)^{11}}{(x+18)^{12}}-12=\frac{12}{x+18}-12

\displaystyle \frac{12}{x+18}-12=0;

\displaystyle\frac{12}{x+18}=12;

12=12x+216;

x=-17.

ОДЗ: $x\neq-18$ .

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции на отрезке $[-17,5;0]$ :

Получилось, что наибольшее значение функции в точке $-17$ . Найдем значение функции в данной точке:

\displaystyle y(-17)=ln(-17+18)^{12}-12\cdot-17=204

Ответ: $204$ .

Источник: ЕГЭ 2023 Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов (вариант 3) (Купить книгу)