В треугольнике ABC угол С равен 90°, АВ = 3√5, sinA = 2/√5

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^{\circ}$ , $AB = 3\sqrt{5}$ , $\displaystyle sinA=\frac{2}{\sqrt{5}}$ . Найдите площадь треугольника.

Решение

Синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе, т.е. $\displaystyle sinA=\frac{BC}{AB}$ . Подставим известные значения и найдем катет $BC$ :

\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{BC}{3\sqrt{5}};

BC=6

Косинус — отношение прилежащего катета к гипотенуз, т.е. $\displaystyle cosA=\frac{AC}{AB}$ . Найдем $cosA$ , для этого воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $sin^2x+cos^2x=1$ :

\displaystyle \frac{4}{5}+cos^2A=1;

\displaystyle cosA=\frac{1}{\sqrt{5}}

Подставим известные значения и найдем катет $AC$ :

\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{AC}{3\sqrt{5}};

AC=3

Площадь прямоугольного треугольника находится по формул $\displaystyle S=\frac{a\cdot b}{2}$ , где $a$ и $b$ — катеты треугольника. Подставим известные значения в формул и найдем площадь треугольника:

S=(3\cdot 6)\div2=9

Ответ: $9$ .

Источник: ЕГЭ 2023 Математика. Базовый уровень. Типовые экзаменационные варианты. 30 вариантов (вариант 8) (Купить книгу)