Длины векторов \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} равны 5 \sqrt{27} и 2 \sqrt{3}, а угол между ними равен 120^{\circ}. Найдите скалярное произведение \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}.
Решение
Скалярное произведение векторов равняется произведению их длин на косинус угла между ними:
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{|a|} \cdot \overrightarrow{|b|} \cdot \cos \alpha.Подставим известные значения в формулу и найдем скалярное произведение векторов:
\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 5 \sqrt{27} \cdot 2 \sqrt{3} \cdot \cos 120^{\circ}=10 \sqrt{81} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-45.Ответ: -45.
Источник: Открытый банк задач ЕГЭ по математике (Задание №509798)