У Светы есть попрыгунчик (каучуковый мячик). Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока попрыгунчик подлетел на высоту 560 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в два раза меньшей предыдущей. После какого по счету отскока высота, на которую подлетит попрыгунчик, станет меньше 20 см?
Решение
Первый вариант решения:
После каждого следующего отскока от асфальта мячик подлетал на высоту в два раза меньшей предыдущей.
Первый отскок 560 см;
Второй отскок 560 \div 2=280 см;
Третий отскок 280 \div 2=410 см;
Четвертый отскок 140 \div 2=70 см;
Пятый отскок 70 \div 2=35 см;
Шестой отскок 35 \div 2=17,5 см.
Получилось, что после шестого отскока высота, на которую подлетит попрыгунчик, станет меньше 20 см.
Второй вариант решения:
В данной задаче представлена геометрическая прогрессия (после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в два раза меньшей предыдущей). Для решения воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии b_n=b_1 \cdot q^{n-1}, где q – знаменатель.
Запишем известные данные:
b_1=560; \displaystyle q=\frac{1}{2} (подлетает на высоту в два раза меньшей предыдущей). b_n должно быть меньше 20. \displaystyle 560 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{q-1}<20; \displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{q-1}<\frac{20}{560}; \displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{q-1}<\frac{1}{28}.При n=5 неравенство будет иметь вид:
\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{5-1}<\frac{1}{28}; \displaystyle \frac{1}{16}<\frac{1}{28} – не верно.При n=6 неравенство будет иметь вид:
\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{6-1}<\frac{1}{28}; \displaystyle \frac{1}{32}<\frac{1}{28} – верно.Значит после 6 отскока мячик подлетит на высоту меньше 20 см.
Ответ: 20.
Источник: ОГЭ 2025. Математика. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ОГЭ. Ященко И. В. (вариант 30) (Решебник)