Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AC=18, MN=8. Площадь треугольника ABC равна 81. Найдите площадь треугольника MBN.
Решение
Треугольники ABC и MBN подобны по первому признаку подобия (по двум углам):
Угол B является общим;
\angle BAC=\angle BMN как соответственные углы при двух параллельных прямых и секущей.
Найдем коэффициент подобия треугольников (величина, равная отношению сходственных сторон треугольников):
\displaystyle k=\frac{AC}{MN}=\frac{18}{8}=\frac{9}{4}.Теорема об отношении площадей подобных треугольников гласит: отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Т.е.:
\displaystyle \frac{S_{\bigtriangleup ABC}}{S_{\bigtriangleup MNB}}=k^2;\displaystyle \frac{81}{S_{\bigtriangleup MNB}}=\left(\frac{9}{4}\right)^2;
\displaystyle \frac{81}{S_{\bigtriangleup MNB}}=\frac{81}{16};
81 \cdot 16=S_{\bigtriangleup MNB} \cdot 81;
S_{\bigtriangleup NMB}=16.
Ответ: 16.
Источник: ОГЭ 2025. Математика. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ОГЭ. Ященко И. В. (вариант 40) (Решебник)