Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AD и BC пересекаются в точке F, BF=12, DF=9, AB=8. Найдите CD.
Решение
Треугольники CDF и ABF подобны по первому признаку подобия (два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника):
Первое: \angle F — общий для данных треугольников.
Второе:
Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника ABCD равна 180^{\circ}:
\angle ABC+\angle ADC=180^{\circ}; \angle ABC=180^{\circ}-\angle ADC. \angle CDA и \angle CDF — смежные (два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжением одна другой). А у смежных углов сумма равна 180^{\circ}. Значит: \angle ADC+ \angle FDC=180^{\circ}; \angle FDC=180^{\circ}-\angle ADC.Получилось, что \angle FDC=\angle ABC.
В итоге получаем, что \angle F — общий и \angle FDC=\angle ABC.
Одно из свойств подобных треугольников гласит: у подобных треугольников соответствующие стороны пропорциональны:
\displaystyle \frac{DF}{BF}=\frac{CD}{AB}; \displaystyle \frac{9}{12}=\frac{CD}{8}; 12CD=9 \cdot 8; 12CD=72; CD=6.Ответ: 6.
Источник: ОГЭ 2025. Математика. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ОГЭ. Ященко И. В. (вариант 21) (Решебник)