Решите неравенство \displaystyle \frac{-14}{(x-5)^2-2} \geq 0.
Решение
ОДЗ: (x-5)^2-2 \neq 0;
Т.к. числитель дроби не равен 0, то и дробь будет не равна 0. Дробь будет больше нуля, если знаменатель дроби будет меньше нуля, т.к. в числителе стоит отрицательное число. Можно записать:
(x-5)^2-2 < 0;Воспользуемся формулой квадрата разности a^2-b^2=(a-b)(a+b):
(x-5)^2-(\sqrt{2})^2 < 0; (x-5-\sqrt{2}) (x-5+\sqrt{2}) < 0;Воспользуемся методом интервалов:
(x-5-\sqrt{2}) (x-5+\sqrt{2}) = 0;Уравнение будет равно нулю, если x-5-\sqrt{2} = 0 или x-5+\sqrt{2} = 0.
x-5-\sqrt{2} = 0; x=5+\sqrt{2}.ИЛИ
x-5+\sqrt{2} = 0; x=5-\sqrt{2}.Изобразим решение:
Получилось, что x \in (5-\sqrt{2}; 5+\sqrt{2}).
Ответ: x \in (5-\sqrt{2}; 5+\sqrt{2}).
Источник: ОГЭ 2025. Математика. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ОГЭ. Ященко И. В. (вариант 37) (Решебник)