Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB = 12, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 8 и 6.
Решение
Нарисуем условие и проведем отрезки OB и OC:
Расстоянием от центра окружности до хорд является длина перпендикуляра, т.е. OS \perp AB и OT \perp CD. Точки S и T делят хорду пополам (по свойству хорды: если радиус делит хорду пополам, то он ей перпендикулярен).
Значит, треугольники BSO и CTO являются прямоугольными. В них известны BS=AB \div 2=12 \div 2=6 и CT=\displaystyle \frac{CD}{2}.
Рассмотрим прямоугольный треугольник BSO и найдём гипотенузу BO по теореме Пифагора:
BO^2=OS^2+BS^2;
BO^2=8^2+6^2;
BO^2=64+36;
BO^2=100;
BO=10.
BO=CO=10 — т.к. являются радиусами окружности.
Рассмотрим прямоугольный треугольник CTO и найдём неизвестный катет CT по теореме Пифагора:
CO^2=OT^2+CT^2;
10^2=6^2+CT^2;
100=36+CT^2;
CT^2=64;
CT=8.
Мы выяснили, что CT=\displaystyle \frac{CD}{2}. Отсюда:
\displaystyle 8=\frac{CD}{2};
CD=8 \cdot 2=16.
Ответ: 16.
Источник: ОГЭ 2025. Математика. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ОГЭ. Ященко И. В. (вариант 14) (Решебник)