Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB = 24, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 16 и 12.
Решение
Нарисуем условие и проведем отрезки OB и OC:
Расстоянием от центра окружности до хорд является длина перпендикуляра, т.е. OS \perp AB и OT \perp CD. Точки S и T делят хорду пополам (по свойству хорды: если радиус делит хорду пополам, то он ей перпендикулярен).
Значит, треугольники BSO и CTO являются прямоугольными. В них известны BS=AB \div 2=24 \div 2=12 и CT=\displaystyle \frac{CD}{2}.
Рассмотрим прямоугольный треугольник BSO и найдём гипотенузу BO по теореме Пифагора:
BO^2=OS^2+BS^2;
BO^2=16^2+12^2;
BO^2=256+144;
BO^2=400;
BO=20.
BO=CO=20 — т.к. являются радиусами окружности.
Рассмотрим прямоугольный треугольник CTO и найдём неизвестный катет CT по теореме Пифагора:
CO^2=OT^2+CT^2;
20^2=12^2+CT^2;
400=144+CT^2;
CT^2=256;
CT=16.
Мы выяснили, что CT=\displaystyle \frac{CD}{2}. Отсюда:
\displaystyle 16=\frac{CD}{2};
CD=16 \cdot 2=32.
Ответ: 32.
Источник: ОГЭ 2025. Математика. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ОГЭ. Ященко И. В. (вариант 15) (Решебник)