Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB = 18, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 12 и 9.
Решение
Нарисуем условие и проведем отрезки OB и OC:
Расстоянием от центра окружности до хорд является длина перпендикуляра, т.е. OS \perp AB и OT \perp CD. Точки S и T делят хорду пополам (по свойству хорды: если радиус делит хорду пополам, то он ей перпендикулярен).
Значит, треугольники BSO и CTO являются прямоугольными. В них известны BS=AB \div 2=18 \div 2=9 и CT=\displaystyle \frac{CD}{2}.
Рассмотрим прямоугольный треугольник BSO и найдём гипотенузу BO по теореме Пифагора:
BO^2=OS^2+BS^2;
BO^2=12^2+9^2;
BO^2=144+81;
BO^2=225;
BO=15.
BO=CO=15 — т.к. являются радиусами окружности.
Рассмотрим прямоугольный треугольник CTO и найдём неизвестный катет CT по теореме Пифагора:
CO^2=OT^2+CT^2;
15^2=9^2+CT^2;
225=81+CT^2;
CT^2=144;
CT=12.
Мы выяснили, что CT=\displaystyle \frac{CD}{2}. Отсюда:
\displaystyle 12=\frac{CD}{2};
CD=12 \cdot 2=24.
Ответ: 24.
Источник: ОГЭ 2025. Математика. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ОГЭ. Ященко И. В. (вариант 16) (Решебник)