Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB = 40, CD = 42, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 21.
Решение
Нарисуем условие и проведем отрезки OB и OC:
Расстоянием от центра окружности до хорд является длина перпендикуляра, т.е. OS \perp AB и OT \perp CD. Точки S и T делят хорду пополам (по свойству хорды: если радиус делит хорду пополам, то он ей перпендикулярен).
Значит, треугольники BSO и CTO являются прямоугольными. В них известны BS=AB \div 2=40 \div 2=20 и CT=CD \div 2 = 42 \div 2 = 21.
Рассмотрим прямоугольный треугольник BSO и найдём гипотенузу BO по теореме Пифагора:
BO^2=OS^2+BS^2;
BO^2=21^2+20^2;
BO^2=441+400;
BO^2=841;
BO=29.
BO=CO=29 — т.к. являются радиусами окружности.
Рассмотрим прямоугольный треугольник CTO и найдём неизвестный катет OT по теореме Пифагора:
CO^2=OT^2+CT^2;
29^2=21^2+OT^2;
841=441+OT^2;
OT^2=400;
OT=20.
Получилось, что расстояние от центра окружности до хорды CD равняется 20.
Ответ: 20.
Источник: ОГЭ 2025. Математика. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ОГЭ. Ященко И. В. (вариант 17) (Решебник)