Решите неравенство x\le\dfrac{9}{x}.
Решение
Умножать обе части на x нельзя: знак x неизвестен. Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю:
x-\frac{9}{x}\le 0;
\frac{x^2-9}{x}\le 0;
\frac{(x-3)(x+3)}{x}\le 0.
Решим методом интервалов. Числитель обращается в ноль при x=-3 и x=3 (эти точки входят в решение, так как неравенство нестрогое), знаменатель — при x=0 (эта точка исключается).
Точки -3, 0, 3 делят числовую прямую на четыре промежутка. Определим знак дроби на каждом:
— при x<-3, например x=-4: \dfrac{(-7)\cdot(-1)}{-4}<0 — подходит;
— при -3<x<0, например x=-1: \dfrac{(-4)\cdot 2}{-1}>0 — не подходит;
— при 0<x<3, например x=1: \dfrac{(-2)\cdot 4}{1}<0 — подходит;
— при x>3, например x=4: \dfrac{1\cdot 7}{4}>0 — не подходит.
Получаем: x\le -3 или 0<x\le 3.
Ответ: (-\infty;-3]\cup(0;3].
Источник: проект демонстрационного варианта ОГЭ 2027 по математике (ФИПИ), задание 20. Все задания демоверсии с решениями.