Один из углов ромба равен 105^\circ. Найдите угол между высотой и большей диагональю ромба. Ответ дайте в градусах.
Решение
Пусть в ромбе ABCD тупые углы B и D равны 105^\circ. Сумма соседних углов ромба равна 180^\circ, поэтому острые углы равны
\angle A=\angle C=180^\circ-105^\circ=75^\circ.
Большая диагональ ромба соединяет вершины острых углов — это диагональ AC. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, значит,
\angle CAD=\frac{75^\circ}{2}=37{,}5^\circ.
Проведём высоту BH к стороне AD, пусть она пересекает диагональ AC в точке P. В треугольнике APH угол H прямой, а угол при вершине A равен 37{,}5^\circ. Тогда угол между высотой и диагональю:
\angle APH=90^\circ-37{,}5^\circ=52{,}5^\circ.
Ответ: 52{,}5.
← Задание 16 · Все задания варианта 2 · Задание 18 →
Источник: ОГЭ-2027. Математика. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов, под редакцией И. В. Ященко. Вариант 2, задание 17.