Две подруги Настя и Даша задумались о том, как рассчитать площадь поверхности зонта.
На первый взгляд зонт кажется круглым, а его купол напоминает часть сферы (сферический сегмент). Но если присмотреться, то видно, что купол зонта состоит из восьми отдельных клиньев, натянутых на каркас из восьми спиц (рис. 1). Сферическая форма в раскрытом состоянии достигается за счёт гибкости спиц и эластичности ткани.
Настя и Даша измерили расстояние между концами соседних спиц а. Оно оказалось равно 38 см. Высота купола зонта h (рис. 2) оказалась равна 24 см, а расстояние d между концам противоположных спиц равно 120 см.
Задание 3: Даша предположила, что купол зонта имеет форму сферического сегмента. Вычислите радиус R сферы купола, зная, что OC=R. Ответ дайте в сантиметрах.
Решение
Введем обозначения:
Треугольник AOB — равнобедренный, т.к. AO=BO=R. Значит, углы при основании равны \angle OAD = \angle OBD.
OC является медианой, т.к. данный отрезок является основной осью зонта и проводится ровно в центр купола. Значит, OB является медианой, высотой и биссектрисой. Значит, \angle ADO=\angle BDO=90^{\circ}.
Получается, что треугольник ADO равен треугольнику BDO по гипотенузе и острому углу.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ADO. Найдем длину AD, она равняется половине расстояния d:
\displaystyle AD=\frac{d}{2}=\frac{120}{2}=60.Найдем OC:
OD=OC-h=R-24.Найдем OA по теореме Пифагора:
AO^2=AD^2+OD^2; R^2=60^2+(R-24)^2; R^2=3600+R^2-48R+576; 48R=4176; R=87.Получилось, что радиус сферы купола равен 87 см.
Ответ: 87.
Источник: ОГЭ 2025. Математика. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ОГЭ. Ященко И. В. (вариант 9) (Решебник)