В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD=45, BC=20.
Решение
Шаг 1. Точка пересечения боковых сторон. Основания трапеции не равны, поэтому прямые AB и CD пересекаются. Обозначим точку пересечения K. Так как BC<AD, точка B лежит между K и A, а точка C — между K и D.
Прямая AB перпендикулярна основаниям, поэтому треугольники KBC и KAD прямоугольные с общим острым углом K. Они подобны, и
\frac{KC}{KD}=\frac{BC}{AD}=\frac{20}{45}=\frac{4}{9}.
Шаг 2. Касательная и секущая. Из точки K к окружности проведены касательная KE и секущая, пересекающая окружность в точках C и D. Квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть:
KE^2=KC\cdot KD.
Шаг 3. Расстояние. Пусть EH — перпендикуляр из точки E на прямую CD. В прямоугольном треугольнике KEH
EH=KE\cdot\sin K.
Из прямоугольного треугольника KBC: \sin K=\dfrac{BC}{KC}. Тогда
EH=\sqrt{KC\cdot KD}\cdot\frac{BC}{KC}=BC\cdot\sqrt{\frac{KD}{KC}}=20\cdot\sqrt{\frac{9}{4}}=20\cdot\frac{3}{2}=30.
Заметим, что EH=\sqrt{AD\cdot BC}=\sqrt{45\cdot 20}=\sqrt{900}=30 — тот же результат.
Ответ: 30.
← Задание 24 · Все задания варианта 1
Источник: ОГЭ-2027. Математика. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов, под редакцией И. В. Ященко. Вариант 1, задание 25.