Точка N — середина стороны AB параллелограмма ABCD, а NC = ND. Докажите, что параллелограмм ABCD является прямоугольником · Решения ОГЭ и ЕГЭ по математике: база и профиль

Точка $N$ — середина стороны $AB$ параллелограмма $ABCD$ , а $NC=ND$ . Докажите, что параллелограмм $ABCD$ является прямоугольником.

Доказательство

Доказательство. Рассмотрим треугольники $AND$ и $BNC$ .

В них $AN=NB$ , так как $N$ — середина стороны $AB$ ; $AD=BC$ как противоположные стороны параллелограмма; $ND=NC$ по условию.

Значит, треугольники $AND$ и $BNC$ равны по трём сторонам. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, поэтому

$\angle NAD=\angle NBC,$

то есть углы $A$ и $B$ параллелограмма равны.

Углы $A$ и $B$ — соседние углы параллелограмма, прилежащие к стороне $AB$ . Их сумма равна $180^\circ$ , так как $AD\parallel BC$ . Два равных угла с суммой $180^\circ$ равны по $90^\circ$ :

$\angle A=\angle B=90^\circ.$

Параллелограмм, у которого есть прямой угол, является прямоугольником. Что и требовалось доказать.

← Задание 23 · Все задания варианта 1 · Задание 25 →

Источник: ОГЭ-2027. Математика. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов, под редакцией И. В. Ященко. Вариант 1, задание 24.