Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 3:5:16. Найдите радиус окружности, если бо́льшая из сторон треугольника равна 12.
Решение
Градусные меры дуг. Вся окружность составляет 360^\circ и разделена на 3+5+16=24 равные части. Одна часть — 360^\circ:24=15^\circ. Дуги равны
3\cdot 15^\circ=45^\circ,\qquad 5\cdot 15^\circ=75^\circ,\qquad 16\cdot 15^\circ=240^\circ.
Углы треугольника. Каждый угол треугольника — вписанный и равен половине дуги, на которую опирается. Углы треугольника: 22{,}5^\circ, 37{,}5^\circ и 120^\circ.
Радиус. Бо́льшая сторона лежит против большего угла, то есть против угла 120^\circ. По теореме синусов сторона треугольника равна произведению диаметра описанной окружности на синус противолежащего угла:
12=2R\sin 120^\circ.
Так как \sin 120^\circ=\sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}, получаем
12=2R\cdot\frac{\sqrt3}{2}=R\sqrt3,\qquad R=\frac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3.
Ответ: 4\sqrt3.
← Задание 22 · Все задания варианта 1 · Задание 24 →
Источник: ОГЭ-2027. Математика. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов, под редакцией И. В. Ященко. Вариант 1, задание 23.