Постройте график функции
y=\begin{cases}x^2-10x+25 & \text{при } x>4,\\ 1{,}5x-3 & \text{при } x\le 4.\end{cases}
Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение
Построение. При x\le 4 график — часть прямой y=1{,}5x-3. Она проходит через точки (0;\,-3), (2;\,0) и заканчивается в точке (4;\,3), которая принадлежит графику.
При x>4 график — часть параболы y=x^2-10x+25=(x-5)^2. Вершина параболы — точка (5;\,0), ветви направлены вверх. При x=4 значение равно (4-5)^2=1, но точка (4;\,1) графику не принадлежит (выколота). Дополнительные точки: (6;\,1), (7;\,4).
Число общих точек с прямой y=m. Прямая y=m горизонтальна. Левая часть графика (луч) возрастает и принимает каждое значение от -\infty до 3 ровно один раз. Правая часть: на промежутке 4<x\le 5 парабола убывает от 1 (не включая) до 0, а при x\ge 5 возрастает от 0 до +\infty.
Разберём все случаи:
при m<0 — одна общая точка (только с лучом);
при m=0 — две точки: x=2 на луче и вершина параболы x=5;
при 0<m<1 — три точки: одна на луче и две на параболе;
при m=1 — две точки: одна на луче и точка (6;\,1) на параболе, точка (4;\,1) выколота;
при 1<m\le 3 — две точки: одна на луче и одна на правой ветви параболы;
при m>3 — одна точка (только на параболе).
Ровно две общие точки получаются при m=0 и при 1\le m\le 3.
Ответ: m=0; 1\le m\le 3.
← Задание 21 · Все задания варианта 1 · Задание 23 →
Источник: ОГЭ-2027. Математика. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов, под редакцией И. В. Ященко. Вариант 1, задание 22.