Из А в Б одновременно выехали два велосипедиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, большей скорости первого велосипедиста на 4{,}5 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью 15 км/ч, в результате чего прибыл в Б одновременно с первым велосипедистом. Найдите скорость первого велосипедиста.
Решение
Пусть скорость первого велосипедиста равна v км/ч, а весь путь — 2S км (так удобнее делить путь пополам).
Время первого велосипедиста: \dfrac{2S}{v} часов.
Второй велосипедист проехал первую половину пути со скоростью v+4{,}5 км/ч, а вторую — со скоростью 15 км/ч. Его время: \dfrac{S}{v+4{,}5}+\dfrac{S}{15} часов.
Велосипедисты выехали и прибыли одновременно, значит, время в пути одинаковое:
\frac{2S}{v}=\frac{S}{v+4{,}5}+\frac{S}{15}.
Разделим обе части на S (путь не равен нулю):
\frac{2}{v}=\frac{1}{v+4{,}5}+\frac{1}{15}.
Умножим обе части на 15v(v+4{,}5) — это выражение положительно:
30(v+4{,}5)=15v+v(v+4{,}5),
30v+135=v^2+19{,}5v,
v^2-10{,}5v-135=0.
Умножим на 2, чтобы коэффициенты стали целыми: 2v^2-21v-270=0. Дискриминант:
D=21^2+4\cdot 2\cdot 270=441+2160=2601=51^2.
v=\frac{21\pm 51}{4};\qquad v_1=18,\quad v_2=-7{,}5.
Скорость положительна, поэтому v=18 км/ч.
Проверка. Пусть путь равен 90 км. Первый проедет его за 90:18=5 ч. Второй: 45:22{,}5+45:15=2+3=5 ч. Время совпало.
Ответ: 18 км/ч.
← Задание 20 · Все задания варианта 1 · Задание 22 →
Источник: ОГЭ-2027. Математика. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов, под редакцией И. В. Ященко. Вариант 1, задание 21.