Решите неравенство \dfrac{x^2}{x-25}\le x.
Решение
Умножать обе части на x-25 нельзя: знак этого выражения неизвестен. Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю:
\frac{x^2}{x-25}-x\le 0,
\frac{x^2-x(x-25)}{x-25}\le 0,
\frac{25x}{x-25}\le 0.
Решим методом интервалов. Числитель обращается в нуль при x=0, знаменатель — при x=25. Эти точки делят числовую прямую на три промежутка. Определим знак дроби на каждом:
при x<0 (например, x=-1): числитель отрицателен, знаменатель отрицателен, дробь положительна;
при 0<x<25 (например, x=1): числитель положителен, знаменатель отрицателен, дробь отрицательна;
при x>25 (например, x=26): числитель и знаменатель положительны, дробь положительна.
Неравенство нестрогое, поэтому точка x=0, в которой дробь равна нулю, входит в решение. Точка x=25 не входит: при этом значении знаменатель равен нулю.
0\le x<25.
Ответ: [0;\,25).
← Задание 19 · Все задания варианта 1 · Задание 21 →
Источник: ОГЭ-2027. Математика. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов, под редакцией И. В. Ященко. Вариант 1, задание 20.