Точка N — середина стороны BC ромба ABCD, а AN = DN. Докажите, что ромб ABCD является квадратом · Решения ОГЭ и ЕГЭ по математике: база и профиль

Точка $N$ — середина стороны $BC$ ромба $ABCD$ , а $AN=DN$ . Докажите, что ромб $ABCD$ является квадратом.

Доказательство

Доказательство. Рассмотрим треугольники $ABN$ и $DCN$ .

В них $BN=NC$ , так как $N$ — середина стороны $BC$ ; $AB=DC$ как стороны ромба; $AN=DN$ по условию.

Значит, треугольники $ABN$ и $DCN$ равны по трём сторонам. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, поэтому

$\angle ABN=\angle DCN,$

то есть углы $B$ и $C$ ромба равны.

Углы $B$ и $C$ — соседние углы ромба, прилежащие к стороне $BC$ . Их сумма равна $180^\circ$ , так как $AB\parallel CD$ . Два равных угла с суммой $180^\circ$ равны по $90^\circ$ :

$\angle B=\angle C=90^\circ.$

Ромб, у которого есть прямой угол, является квадратом. Что и требовалось доказать.

← Задание 23 · Все задания варианта 2 · Задание 25 →

Источник: ОГЭ-2027. Математика. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов, под редакцией И. В. Ященко. Вариант 2, задание 24.