Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 4:5:7. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон треугольника равна 18.
Решение
Градусные меры дуг. Вся окружность составляет 360^\circ и разделена на 4+5+7=16 равных частей. Одна часть — 360^\circ:16=22{,}5^\circ. Дуги равны
4\cdot 22{,}5^\circ=90^\circ,\qquad 5\cdot 22{,}5^\circ=112{,}5^\circ,\qquad 7\cdot 22{,}5^\circ=157{,}5^\circ.
Углы треугольника. Каждый угол треугольника — вписанный и равен половине дуги, на которую опирается. Углы треугольника: 45^\circ, 56{,}25^\circ и 78{,}75^\circ.
Радиус. Меньшая сторона лежит против меньшего угла, то есть против угла 45^\circ. По теореме синусов сторона треугольника равна произведению диаметра описанной окружности на синус противолежащего угла:
18=2R\sin 45^\circ.
Так как \sin 45^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2}, получаем
18=2R\cdot\frac{\sqrt2}{2}=R\sqrt2,\qquad R=\frac{18}{\sqrt2}=9\sqrt2.
Ответ: 9\sqrt2.
← Задание 22 · Все задания варианта 2 · Задание 24 →
Источник: ОГЭ-2027. Математика. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов, под редакцией И. В. Ященко. Вариант 2, задание 23.