Постройте график функции
y=\begin{cases}-x^2+8x-16 & \text{при } x>2,\\ -0{,}5x-1 & \text{при } x\le 2.\end{cases}
Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение
Построение. При x\le 2 график — часть прямой y=-0{,}5x-1. Она проходит через точки (-2;\,0), (0;\,-1) и заканчивается в точке (2;\,-2), которая принадлежит графику.
При x>2 график — часть параболы y=-x^2+8x-16=-(x-4)^2. Вершина параболы — точка (4;\,0), ветви направлены вниз. При x=2 значение равно -(2-4)^2=-4, но точка (2;\,-4) графику не принадлежит (выколота). Дополнительные точки: (3;\,-1), (5;\,-1), (6;\,-4).
Число общих точек с прямой y=m. Прямая y=m горизонтальна. Левая часть графика (луч) убывает и принимает каждое значение от -2 до +\infty ровно один раз. Правая часть: на промежутке 2<x\le 4 парабола возрастает от -4 (не включая) до 0, а при x\ge 4 убывает от 0 до -\infty.
Разберём все случаи:
при m>0 — одна общая точка (только с лучом);
при m=0 — две точки: x=-2 на луче и вершина параболы x=4;
при -2\le m<0 — три точки: одна на луче и две на параболе;
при -4<m<-2 — две точки: обе на параболе, луч таких значений не принимает;
при m=-4 — одна точка (6;\,-4), точка (2;\,-4) выколота;
при m<-4 — одна точка (на правой ветви параболы).
Ровно две общие точки получаются при m=0 и при -4<m<-2.
Ответ: m=0; -4<m<-2.
← Задание 21 · Все задания варианта 2 · Задание 23 →
Источник: ОГЭ-2027. Математика. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов, под редакцией И. В. Ященко. Вариант 2, задание 22.