Из А в Б одновременно выехали два велосипедиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, большей скорости первого велосипедиста на 2{,}5 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью 18 км/ч, в результате чего прибыл в Б одновременно с первым велосипедистом. Найдите скорость первого велосипедиста.
Решение
Пусть скорость первого велосипедиста равна v км/ч, а весь путь — 2S км (так удобнее делить путь пополам).
Время первого велосипедиста: \dfrac{2S}{v} часов.
Второй велосипедист проехал первую половину пути со скоростью v+2{,}5 км/ч, а вторую — со скоростью 18 км/ч. Его время: \dfrac{S}{v+2{,}5}+\dfrac{S}{18} часов.
Велосипедисты выехали и прибыли одновременно, значит, время в пути одинаковое:
\frac{2S}{v}=\frac{S}{v+2{,}5}+\frac{S}{18}.
Разделим обе части на S (путь не равен нулю):
\frac{2}{v}=\frac{1}{v+2{,}5}+\frac{1}{18}.
Умножим обе части на 18v(v+2{,}5) — это выражение положительно:
36(v+2{,}5)=18v+v(v+2{,}5),
36v+90=v^2+20{,}5v,
v^2-15{,}5v-90=0.
Умножим на 2, чтобы коэффициенты стали целыми: 2v^2-31v-180=0. Дискриминант:
D=31^2+4\cdot 2\cdot 180=961+1440=2401=49^2.
v=\frac{31\pm 49}{4};\qquad v_1=20,\quad v_2=-4{,}5.
Скорость положительна, поэтому v=20 км/ч.
Проверка. Пусть путь равен 180 км. Первый проедет его за 180:20=9 ч. Второй: 90:22{,}5+90:18=4+5=9 ч. Время совпало.
Ответ: 20 км/ч.
← Задание 20 · Все задания варианта 2 · Задание 22 →
Источник: ОГЭ-2027. Математика. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов, под редакцией И. В. Ященко. Вариант 2, задание 21.