Решите неравенство \dfrac{x^2}{x+4}\ge x.
Решение
Умножать обе части на x+4 нельзя: знак этого выражения неизвестен. Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю:
\frac{x^2}{x+4}-x\ge 0,
\frac{x^2-x(x+4)}{x+4}\ge 0,
\frac{-4x}{x+4}\ge 0.
Разделим обе части на -4, знак неравенства при этом изменится:
\frac{x}{x+4}\le 0.
Решим методом интервалов. Числитель обращается в нуль при x=0, знаменатель — при x=-4. Эти точки делят числовую прямую на три промежутка. Определим знак дроби на каждом:
при x<-4 (например, x=-5): числитель и знаменатель отрицательны, дробь положительна;
при -4<x<0 (например, x=-1): числитель отрицателен, знаменатель положителен, дробь отрицательна;
при x>0 (например, x=1): числитель и знаменатель положительны, дробь положительна.
Неравенство нестрогое, поэтому точка x=0, в которой дробь равна нулю, входит в решение. Точка x=-4 не входит: при этом значении знаменатель равен нулю.
-4<x\le 0.
Ответ: (-4;\,0].
← Задание 19 · Все задания варианта 2 · Задание 21 →
Источник: ОГЭ-2027. Математика. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов, под редакцией И. В. Ященко. Вариант 2, задание 20.