Постройте график функции \displaystyle y=\frac{x^4-13x^2+36}{(x-3)(x+2)} и определите, при каких значениях c прямая y=c имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение
ОДЗ:
x-3 \neq 0 отсюда x \neq 3. x+2 \neq 0 отсюда x \neq -2.Разложим числитель на множители:
x^4-13x^2+36=0;Пусть t=x^2:
t^2-13t+36; D=b^2-4ac=169-4 \cdot 1 \cdot 36=25; \displaystyle x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{13+5}{2}=9; \displaystyle x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{13-5}{2}=4.Соответственно (t-4)(t-9).
Заменим обратно на x:
(x^2-4)(x^2-9).Воспользуемся формулой разности квадратов a^2-b^2=(a-b)(a+b):
(x-2)(x+2)(x-3)(x+3). \displaystyle y=\frac{(x-2)(x+2)(x-3)(x+3)}{(x-3)(x+2)}=(x-2)(x+3)=x^2+x-6.Вершина параболы:
\displaystyle x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2}=-0,5; \displaystyle y=(-0,5)^2-0,5-6=-6,25.Изобразим параболу.
Прямая y=c имеет с параболой одну общую точку когда проходит через вершину параболы или когда пересекает параболу в двух точках, одна из которых выколота. Получаем следующие значения:
с=-6,25; с=-4; с=6.Ответ: c=-6,25, с=-4, c=6.
Источник: Решебник демоверсии ОГЭ по математике 2024 (Задание 22) (Решебник)